Lecture 20 - 2025 / 4 / 28

Percolation on dd-Regular Graphs

Theorem: GG 为 nn 顶点的 dd-正则图，其中 3≤d≤n−13 \le d \le n-1。用 C1\mathcal C_1 代表 GG 上的 pp-渗滤的最大的连通分支，其中 p=1d−1p = \dfrac{1}{d-1}，则对任意 A>0A > 0：
Pr⁡[∣C1∣≥An2/3]≤αA3/2\Pr[|\mathcal C_1| \ge A n^{2/3}] \le \frac{\alpha}{A^{3/2}}

其中 α\alpha 是一个 universal 常数。

考虑选定一个点 vv 开始分支过程，用 XtX_t 表示当前“前沿”点的数量，每次展开一个“前沿”点。初始 X0=1X_0 = 1，于是
Xt=Xt−1−1+B(d−1,1d−1)X_t = X_{t-1} - 1 + \mathcal B\left(d-1, \frac{1}{d-1}\right)

可以看出 (Xt)(X_t) 是鞅，我们关注的是 XT=0X_T = 0 的时刻。

Lemma: 假设 (Xt)(X_t) 是关于 (Ft)(\mathcal F_t) 的鞅，X0=1,Xt≥0X_0 = 1, X_t \ge 0，定义停时 T=min⁡{k,min⁡{t∣Xt=0∨Xt≥h}}T = \min \{k, \min\{t \mid X_t = 0 \lor X_t \ge h\}\}，那么如果满足

那么就有 Pr⁡[∀t≤k,Xt>0]≤1h+Dhkσ2\Pr[\forall t \le k, X_t > 0] \le \dfrac{1}{h} + \dfrac{Dh}{k\sigma^2}。

首先所求即 Pr⁡[XT≠0]≤Pr⁡[T≥k]+Pr⁡[XT≥h]\Pr[X_T \ne 0] \le \Pr[T \ge k] + \Pr[X_T \ge h]。

容易根据 Markov 不等式得到 Pr⁡[XT≥h]≤E[XT]h=1h\Pr[X_T \ge h] \le \dfrac{\mathbb E[X_T]}{h} = \dfrac{1}{h}。

考虑 Yt:=Xt2−hXt−σ2tY_t := X_t^2 - h X_t - \sigma^2 t，易见 (Yt)(Y_t) 是下鞅，从而 1−h=E[Y02]≤E[YT2]≤E[XT2]−hE[XT]−σ2E[T]1-h = \mathbb E[Y_0^2] \le \mathbb E[Y_T^2] \le \mathbb E[X_T^2] - h \mathbb E[X_T] - \sigma^2 \mathbb E[T]。

注意到 E[XT2]−hE[XT]\mathbb E[X_T^2] - h \mathbb E[X_T] 在 XT<hX_T < h 时是负的，故 ≤Pr⁡[XT≥h]⋅(Dh2−h2)≤(D−1)h\le \Pr[X_T \ge h] \cdot (Dh^2 - h^2) \le (D-1)h。于是立刻可以得到 E[T]≤Dh/σ2\mathbb E[T] \le Dh / \sigma^2。

再根据 Markov 不等式，有 Pr⁡[T≥k]≤Dhkσ2\Pr[T \ge k] \le \dfrac{Dh}{k\sigma^2}。

我们考虑将上述引理应用到 (Xt)(X_t) 上。易见方差 σ2=d−2d−1≥12\sigma^2 = \dfrac{d-2}{d-1} \ge \dfrac 1 2，于是只需关注 XT≥hX_T \ge h 时的情况，我们针对最后一步展开。
E[XT2∣XT≥h]≤EZ∼B(d−1,1/(d−1))[(h+Z)2]≤h2+2h+2≤2h2(∀h≥3)\begin{aligned} \mathbb E[X_T^2 \mid X_T \ge h] & \le \mathbb E_{Z \sim \mathcal B(d-1, 1/(d-1))} [(h + Z)^2] \\ & \le h^2 + 2h + 2 \le 2h^2 \quad (\forall h \ge 3)\\ \end{aligned}

于是根据 Lemma，对于任何 h≥3h \ge 3，都有 Pr⁡[∀t≤k,Xt>0]≤1h+4hk\Pr[\forall t \le k, X_t > 0] \le \dfrac{1}{h} + \dfrac{4h}{k}，取 h=k2h = \dfrac{\sqrt{k}}{2} 得到最优概率 2k\dfrac{2}{\sqrt{k}}，即设 C(v)C(v) 表示从 vv 开始分支过程的连通分支大小，则有 Pr⁡[C(v)≥k]≤2k\Pr[C(v) \ge k] \le \dfrac{2}{\sqrt{k}}。下证 Theorem。

如果直接对所有 vv 使用 union bound，则将得到 Pr⁡[∃v,C(v)≥k]≤2nk\Pr[\exists v, C(v) \ge k] \le \dfrac{2n}{\sqrt{k}}，这显然对于 k=O(n2/3)k = O(n^{2/3}) 是一个不好的界限。我们可以巧妙地将分母再乘一个 kk。

考虑用 NkN_k 代表位于 ≥k\ge k 个点的连通分支的点数，则 E[Nk]=nPr⁡[C(v)≥k]=2nk\mathbb E[N_k] = n \Pr[C(v) \ge k]= \dfrac{2n}{\sqrt{k}}。根据 Markov 不等式，有 Pr⁡[Nk≥k]≤2nk3/2\Pr[N_k \ge k] \le \dfrac{2n}{k^{3/2}}。取 k=An2/3k = A n^{2/3}，则有
Pr⁡[∣C1∣≥An2/3]≤2A3/2\Pr[|\mathcal C_1| \ge An^{2/3}] \le \frac{2}{A^{3/2}}