Lecture 11 - 2025 / 3 / 24

Hamilton Cycles (2)

Claim: 在 G′G' 中，{y∈N(x)}\{y \in N(x)\} 是互相独立的事件，且每个以 p2\dfrac p 2 的概率发生。

首先 Pr⁡[y∈N(x)]=p⋅(p4+(12−p4))=p2\Pr[y \in N(x)] = p \cdot (\dfrac p 4 + (\dfrac 1 2 - \dfrac p 4)) = \dfrac p 2。

其次由于下式，立刻得到独立性：
Pr⁡[y∈N(x)∧x∈N(y)]=p⋅p4=p24=Pr⁡[y∈N(x)]Pr⁡[x∈N(y)]\Pr[y \in N(x) \land x \in N(y)] = p \cdot \dfrac p 4 = \dfrac {p^2} 4 = \Pr[y \in N(x)]\Pr[x \in N(y)]

Claim: 取 p≥72ln⁡nn−1,G∈G(n,p)p \ge 72 \dfrac{\ln n}{n-1}, G \in \mathcal G(n, p)，w.h.p. choose 的实现方法保证了每个点以均等的概率 1n−1\dfrac{1}{n-1} 作为新的端点。

我们假设始终有 N(x)\OLD(x)≠∅N(x) \backslash \textit{OLD}(x) \ne \varnothing（接下来会证明），那么

  1. 对于 y∈OLD(x)y \in \textit{OLD}(x)，有 Pr⁡[choose picks y]=∣OLD(x)∣n−1⋅1∣OLD(x)∣=1n−1\Pr[\textit{choose} \text{ picks } y ] = \dfrac{|\textit{OLD}(x)|}{n-1} \cdot \dfrac{1}{|\textit{OLD}(x)|} = \dfrac{1}{n-1}
  2. 对于 y∉OLD(x)y \notin \textit{OLD}(x)，类似可知也为 1n−1\dfrac{1}{n-1}。

值得注意的是，这里 GG 也为随机性来源之一，我们是从观察者视角计算概率，也即我们只能根据 choose history 对 GG 进行假设。

Claim: 在 4nln⁡n4 n\ln n 步内，w.h.p ∀x,N(x)\OLD(x)≠∅\forall x, N(x) \backslash \textit{OLD}(x) \ne \varnothing。

我们对于一个 fixed xx，说明 Pr⁡[N(x)\OLD(x)=∅]=O(1n2)\Pr [ N(x) \backslash \textit{OLD}(x) = \varnothing ] = O(\dfrac 1 {n^2}) 即可通过 union bound 证明原结论。

首先 Pr⁡[∣N(x)∣≤24ln⁡n]≤1n2\Pr[|N(x)| \le 24 \ln n] \le \dfrac{1}{n^2}，这是因为 ∣N(x)∣∼B(n−1,p2)|N(x)| \sim B(n-1, \frac p 2)，所以 E[∣N(x)∣]=36ln⁡n\mathbb E[|N(x)|] = 36 \ln n。我们根据 Chernoff bound 即可得证。

接下来 Pr⁡[∣OLD(x)∣≥24ln⁡n]≤1n2\Pr[|\textit{OLD}(x)| \ge 24 \ln n] \le \dfrac{1}{n^2}，这是因为，xx 作端点的次数 ∼B(4nln⁡n,1n−1)\sim B(4n \ln n, \frac{1}{n-1})，而 ∣OLD(x)∣|\textit{OLD}(x)| 显然不会超过这个次数，故由 Chernoff bound 再次得证。

Balls and Bins (1)

考虑将 mm 个球独立均匀放进 nn 个桶里，设第 ii 个桶里 XiX_i 个球，那么
Pr⁡[X1=k1,⋯ ,Xn=kn]=1nmm!k1!⋯kn!\Pr[X_1 = k_1, \cdots, X_n = k_n] = \dfrac{1}{n^m} \dfrac{m!}{k_1!\cdots k_n!}

另一方面，假设 Y1,⋯ ,YnY_1, \cdots, Y_n 是一列独立服从 π(λ)\pi(\lambda) 的变量，
Pr⁡[Y1=k1,⋯ ,Yn=kn]=∏i=1ne−λλkiki!Pr⁡[∑i=1nYi=m]=e−λn(λn)mm!\begin{aligned} \Pr[Y_1 = k_1, \cdots, Y_n = k_n] & = \prod_{i=1}^{n} \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k_i}}{k_i!} \\ \Pr\left[\sum_{i=1}^{n} Y_i = m\right] & = \dfrac{e^{-\lambda n} (\lambda n)^{m}}{m!} \end{aligned}

从而我们有 Pr⁡[X1=k1,⋯ ,Xn=kn]=Pr⁡[Y1=k1,⋯ ,Yn=kn∣∑i=1nYi=m]\Pr[X_1 = k_1, \cdots, X_n = k_n] = \Pr[Y_1 = k_1, \cdots, Y_n = k_n \mid \sum_{i=1}^{n} Y_i = m]。

Theorem: 将 nn 个球独立均匀放进 nn 个桶里，最大负载量 w.h.p 是 O(ln⁡nln⁡ln⁡n)O(\dfrac{\ln n}{\ln \ln n})。

记 E1\mathcal{E}_1 表示某个桶的球个数 >(1+ε)ln⁡nln⁡ln⁡n> (1+\varepsilon)\dfrac{\ln n}{\ln \ln n} 我们需要证明 Pr⁡[E1]=1/poly(n)\Pr [\mathcal{E}_1] = 1/\text{poly}(n)。

由于 X1∼B(n,1n)X_1 \sim B(n, \frac{1}{n})，有
Pr⁡[X1>(1+ε)ln⁡nln⁡ln⁡n]≤(eln⁡ln⁡n(1+ε)ln⁡n)(1+ε)ln⁡n/ln⁡ln⁡n=exp⁡((1+ε)ln⁡nln⁡ln⁡n⋅(1+ln⁡ln⁡ln⁡n−ln⁡(1+ε)−ln⁡ln⁡n))=exp⁡(−Θ((1+ε)ln⁡n))=n−Θ(1+ε)\begin{aligned} \Pr[X_1 > (1+\varepsilon)\dfrac{\ln n}{\ln \ln n}] & \le \left( \frac{e \ln \ln n}{(1 + \varepsilon) \ln n} \right)^{(1 + \varepsilon) \ln n /\ln \ln n}\\ & = \exp\left ( (1 + \varepsilon) \frac{\ln n}{\ln \ln n} \cdot (1 + \ln \ln \ln n - \ln (1 + \varepsilon) - \ln \ln n ) \right)\\ & = \exp( - \Theta((1 + \varepsilon) \ln n) ) = n^{-\Theta(1 + \varepsilon)} \end{aligned}

从而根据 union bound 得证。