称 $U(\bm x_0, \delta) = \{ \bm x \in \R^n : |\bm x - \bm x_0| < \delta \}$ 为 $\bm x_0$ 为心的 $\delta$ 邻域，球形领域。

称 $N(\bm x_0, \delta) = \{ \bm x \in \R^n : |x_i - x_i^0| < \delta, i = 1, 2, \cdots, n \}$ 为方形邻域。

$U(\bm x_0, \delta) \sub N(\bm x_0, \delta) \sub U(\bm x_0, \sqrt{n} \delta)$

$\lim_{k \to \infty} \bm x_k = \bm x_0$ 的充要条件是 $\forall i$，都有 $\lim_{k \to \infty} x_i^k = x_i^0$。

设 $E \sub \R^n$，$\bm x \in \R^n$。用 $E^c$ 代表 $\R^n \backslash E$。

• 若存在 $\delta > 0$，$U(\bm x, \delta) \sub E$，则称 $\bm x$ 是 $E$ 的内点，内点构成的集合为 $E$ 的内部。
• 若存在 $\delta > 0$，$U(\bm x, \delta) \cap E = \varnothing$，则称 $\bm x$ 是 $E$ 的外点，外点构成的集合为 $E$ 的外部。
• 若 $\forall \delta > 0$，$U(\bm x, \delta) \cap E \ne \varnothing$ 且 $U(\bm x, \delta) \cap E^c \ne \varnothing$，则称 $\bm x$ 是 $E$ 的边界点，$\partial E$ 代表 $E$ 的边界点集，称之为 $E$ 的边集。

内部记作 $E^\circ$，则外部为 $(E^c)^\circ$，内 + 外 + 边 = 全集。

设 $E \sub \R^n$，若 $E = E^\circ$，则称 $E$ 为开集。规定 $\varnothing$ 为开集。

性质：$\R$ 的开集是可数个开区间的并。

对于开集 $E$，$\forall x \in E$，向两边尽量延伸，有 $(l_x, r_x) \sub E$，此时 $\bigcup_{x \in E} (l_x, r_x) = E$，且若两个区间有橡胶，则一定完全相同，因此本质不同的区间数量不超过有理数个（每个区间中一定有有理数）。

任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。而无限个开集的交则不一定，例如 $\bigcap_{k=1}^{\infty} U(x, \frac 1 k) = \{x\}$。

设 $E \sub \R^n$，若 $E^c$ 是开集，则称 $E$ 是闭集。

对任何开集 $E \sub \R^n$，若 $F = E \cup \partial E$，则可以看出 $F$ 必为闭集。

有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集。

德·摩根公式：$(\bigcup _{\lambda \in \Lambda} E_\lambda)^c = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} E_\lambda^c$；$(\bigcap _{\lambda \in \Lambda} E_\lambda)^c = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} E_\lambda^c$

闭集的聚点表述：如果 $E'$ 是 $E$ 的全体聚点集合（导集），记 $\overline E = E \cup E'$ 为 $E$ 的闭包。

定理：$E \sub \R^n$ 是闭集充要条件为 $E = \overline E$。

首先 $E = \overline E$ 等价于 $E' \sub E$。
如果 $E$ 闭，那么 $E^c$ 开，即 $\forall \bm x \notin E, \exists \delta_{\bm x}$，使得 $U(\bm x, \delta_{\bm x}) \sub E^c$，从而 $\bm x \notin E'$。
如果 $E' \sub E$，那么 $\forall \bm x \notin E$，有 $\bm x \notin E'$，从而 $\exists \delta_{\bm x}, U(\bm x, \delta_{\bm x}) \cap E = \varnothing$，于是 $U(\bm x, \delta_{\bm x}) \sub E^c$，从而 $E^c$ 开。

闭集套定理：记 $\operatorname{diam}(E) = \sup_{\bm x, \bm y \in E}\{|\bm x - \bm y|\}$ 为 $E$ 的直径。若非空闭集列 $F_{k+1} \sub F_k, \lim_{k \to \infty} \operatorname{diam}(F_k) = 0$，则存在唯一的 $\bm x_0 \in \R^n$，使得 $\{\bm x_0\} = \bigcap_{k=1}^{\infty} F_k$。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理：$\R^n$ 中有界点列必有收敛子列。这个定理等价于 $\R^n$ 中任意有界无穷集一定至少有一个聚点。

设 $\{O_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ 是一个开集族，若 $E \sub \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda$，则称 $\{O_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ 是一个开覆盖。若 $\Lambda$ 有限元素，则称为有限开覆盖。

若 $E$ 的任何开覆盖都存在有限子覆盖，则称 $E$ 为紧集。

定理：$E$ 为紧集等价于 $E$ 为有界闭集。

必要性：能有限覆盖必然有界，倘若 $E$ 不闭，则存在聚点 $\bm x_0 \notin E$，定义 $O_{\bm x} = U(\bm x, \frac 1 2 |\bm x_0 - \bm x|)$，则 $\{O_{\bm x}\}_{\bm x \in E}$ 是一组开覆盖。如果 $E$ 是紧的，那么应当存在有限开覆盖，但有限必然无法完全覆盖 $\bm x_0$ 附近的小邻域。
充分性：倘若不是紧集，那么存在一个开覆盖，不存在有限子覆盖。利用闭集套定理证明，类比于 $\R$ 上的二分法，这里用 $2^n$ 分法，有一个单点需要无穷个开集来覆盖，矛盾。

设函数 $z = f(x, y)$ 在 $N_0((x_0, y_0), \delta_0)$ 内，对每个固定的 $y \ne y_0$，$\lim_{x \to x_0} f(x, y) = \varphi(y)$ 存在，并且 $\lim_{y \to y_0} \varphi(y) = A$，则称 $A$ 是 $f(x, y)$ 趋于 $(x_0, y_0)$ 的先 $x$ 后 $y$ 的累次极限。记为 $A = \lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)$。

如果极限存在，且 $\varphi(y)$ 处处存在，那么累次极限一定和函数极限相同。

定理：$E \sub \R^n$，向量函数 $\bm y = \bm f(\bm x)$ 在 $E$ 上连续，$\bm g(\bm y)$ 在 $\bm f(E)$ 上连续，则 $\bm g(\bm f(x))$ 在 $E$ 上连续。

$D = [\alpha, \beta] \sub \R$，称 $D$ 上的一个 $n$ 维连续函数为 $\R^n$ 的一条连续曲线，或道路/路径。

设非空集合 $E$，对 $\forall \bm x, \bm y \in E$，都存在 $\bm h(t) : t \in [\alpha, \beta]$，使得 $\bm h(\alpha) = \bm x, \bm h(\beta) = \bm y$，且 $\bm h([\alpha, \beta]) \sub E$，则称 $E$ 是道路连通的。连通的开集称为区域，称区域 $D$ 的 $D \cup \partial D$ 为一个闭区域。若 $\forall \bm x, \bm y \in D$，有 $t \bm x + (1 - t) \bm y \in D\ (t \in [0, 1])$，则称 $D$ 为凸域。

定理：$E$ 为紧集，$\bm f(\bm x)$ 在 $E$ 上连续，则 $\bm f(E)$ 是紧集。

首先 $\bm f(E)$ 有界，否则存在 $\{\bm x_k\}$，$|\bm f(\bm x_k)| \to \infty$，又 $E$ 紧，所以不妨设 $\bm x_k \to \bm x_0$，由连续性应当有 $\bm f(\bm x_k) \to \bm f(\bm x_0)$。
再证明闭集。对于 $\bm u \in \bm f(E)'$，存在 $\{\bm x_k\}$，使得 $\bm f(\bm x_k) \to \bm u$，再由 $E$ 紧，不妨设 $\bm x_k \to \bm x_0$，于是 $\bm u = \bm f(\bm x_0) \in \bm f(E)$。

推论：$f(\bm x)$ 在紧集 $E$ 上连续，则 $f(\bm x)$ 能取到 $\max, \min$。

定理：$E$ 连通，$\bm f(\bm x)$ 在 $E$ 上连续，则 $\bm f(E)$ 是连通集。

$\forall \bm u_1, \bm u_2 \in \bm f(E)$，存在 $\bm u_1 = f(\bm x_1), \bm u_2 = f(\bm x_2)$。于是存在道路 $\bm h(t)$ 连接 $\bm x_1, \bm x_2$，于是 $\bm f(\bm h(t))$ 是连接 $\bm u_1, \bm u_2$ 的道路。

推论：$f(\bm x)$ 在连通集 $E$ 上连续，则满足介值性质。

$\bm f(\bm x)$ 在紧集 $E$ 上连续，则一定一致连续。

$\bm f(\bm x)$ 是一个一一对应，则存在逆映射 $\bm f^{-1}(\bm y)$。如果 $\bm f(\bm x)$ 和 $\bm f^{-1}(\bm y)$ 分别连续，则称为 $\bm f(\bm x)$ 是 $E \to \bm f(E)$ 的同胚映射/变换。

性质：不存在 $\R \to \R^2$ 的同胚。

假如存在同胚 $\bm f$，$\R^*$ 不是连通集，而 $\bm f(\R^*)$ 一定是连通集。那么 $\bm f^{-1}$ 会把一个连通集映射为不连通集，矛盾。

一元连续函数如果存在反函数则一定连续，但是多元函数不一定。反例如 $\bm f(r, \theta) = (r\cos \theta, r \sin \theta)$，反函数在 $(r_0, 0)$ 处处不连续（$\theta$ 可以靠近 $0$，也可以靠近 $2\pi$）。